Онлайн переводчик http://translate.meta.ua
поменять
По-русски

Финслерова геометрия является геометрией метрических пространств, обладающих внутренней локальной анизотропией, т.е. -- пространств, метрика которых не сводится к квадратичной форме дифференциалов координат. На существование таких пространств обратил внимание еще Риман в его знаменитой лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". Однако, только 50 лет спустя, в диссертации Финслера были сделаны первые шаги по их систематическому изучению.

Впоследствии, благодаря исследованиям Синга, Вагнера, Бервальда, Картана, Буземана, Рунда, Матсумото и других, финслерова геометрия приобрела статус самостоятельной ветви дифференциальной геометрии. С современной точки зрения классическая финслерова геометрия есть геометрия векторных расслоений над многообразиями.

До недавнего времени попытки использовать формализм финслеровой дифференциальной геометрии в теоретической физике носили лишь эпизодический характер, но в последние годы ситуация в этом отношении заметно изменилась.

Помимо таких традиционных областей как теория анизотропных сред и лагранжева механика, классическая финслерова геометрия и ее обобщения нашли широкое применение при решении проблем оптимизации, при описании хаотических систем, в статистической физике и термодинамике, в экологии и в теории эволюции биологических систем, в описании внутренней симметрии адронов, в теории пространства-времени и гравитации, а также - в единых калибровочных теориях поля.

Отметим, что исторически сложились два альтернативных подхода к финслеровой геометрии -- подходы Картана и Буземана. При этом в большинстве прикладных исследований ( особенно тех, которые касались структуры пространства-времени ) использовался картановский подход.

Хотя в рамках картановского подхода сохраняется лемма Риччи, что открывает возможность для использования аппарата финслеровой дифференциальной геометрии в теориях типа Калуцы-Клейна, сам этот подход отличается большим разнообразием возможных структур и возникающей вследствие этого проблемой идентификации новых ( по сравнению с римановой геометрией ) элементов структуры с физическими наблюдаемыми.

Существование такой проблемы видно уже из того, что в простейшем случае финслеров метрический тензор зависит не только от точек основного многообразия, но и от значения локальных скоростей. Соответственно, физические поля в картановском финслеровом пространстве, помимо пространственно-временных координат, оказываются, вообще говоря, зависящими от этих скоростей. Данное обстоятельство сильно осложняет физическую интерпретацию картановских финслеровых метрик.

Поэтому заранее не ясно, является ли использование подобных метрик чисто формальным приемом, или же реальное пространство-время действительно обладает финслеровой геометрией.

Впервые физические аспекты указанной проблемы привлекли к себе внимание, когда пришло осознание того, что в рамках модели локально изотропного (риманова) пространства-времени невозможно реализовать принцип Маха для пробного тела. Согласно этому принципу, способность тела сопротивляться ускорению, т.е. его инертность, должна зависеть от распределения и движения внешней (по отношению к телу) материи. Другими словами, инертная масса тела, входящая, например, во второй закон Ньютона, должна являться не скаляром, а тензором [G.Cocconi and E.

Salpeter, Nuovo Cimento, 10(1958)646]. Таким образом, открытие анизотропии инертности стало бы прямым указанием на локальную анизотропию пространства. Экспкрименты, поставленные с этой целью [V.Beltran-Lopez, H.G.Robinson and V.W.Hughes, Bull. Am. Phys. Soc., 6(1961)424; R.W.P.Drever, Phil. Mag., 6(1961)683], привели к верхней границе искомой анизотропии на уровне 10^{-23}. Столь сильное ограничение существенно снизило интерес к проблеме локальной анизотропии и вплоть до настоящего времени рассматривается многими исследователями как факт, свидетельствующий в пользу локальной изотропии 3D пространства.

Вместе с тем, уже давно было отмечено [S.T.Epstein, Nuovo Cimento, 16(1960)587; G.Yu.Bogoslovsky, Nuovo Cimento B77(1983)181], что общепринятая экспериментальная оценка анизотропи на уровне 10^{-23} является некорректной, а в качестве надежной верхней границы анизотропии следует рассматривать значение 10^{-10}, полученное путем измерения поперечного эффекта Допплера с помощью эффекта Мессбауэра [D.C.Champeney, G.R.Isaak and A.M.Khan, Phys. Lett., 7(1963)241; G.R.Isaak, Phys. Bull., 21(1970)255].

В последние годы интерес к проблеме локальной анизотропии пространства-времени стал заметно расти. С одной стороны этому способствовало создание струнно-мотивированной феноменологической теории, известной как Расширенная Стандартная Модель сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий, или SME [D.Colladay, A.Kostelecky, Phys. Rev.

, D58(1998) 116002], а с другой -- требующие единого объяснения данные астрофизических наблюдений и, в частности, анизотропия реликтового излучения, ускоренное расширение Вселенной, аномальное поведение кривых вращения спиральных галактик.

В рамках SME локальная анизотропия пространства возникает за счет реликтового векторного конденсата, заполняющего пространство и взаимодействующего с фундаментальными полями лоренц-ковариантным образом. В результате, наличие такого конденсата ведет к нарушению активной лоренцевой инвариантности. При этом локальная лоренцева симметрия (и, соответственно, изотропия) приобретают смысл не строгой, а лишь приближенной пространственно-временной симметрии.

Вместе с тем, принцип относительности Эйнштейна требует, чтобы пространство событий обладало бы строгой релятивистской симметрией. Нарушение лоренцевой симметрии при сохранении релятивистской симметрии означает, что группа релятивистской симметрии должна отличаться от группы Лоренца и включать в себя так называемые обобщенные лоренцевы преобразования.

Как оказалось, такие преобразования действительно существуют, а соответствующее плоское пространство событий, чью группу изометрий они представляют, обобщает пространство Минковского специальной теории относительности и является финслеровым пространством с частично нарушенной 3D изотропией.

Отметим еще, что физическим источником локальной анизотропии пространства теперь уже служит не реликтовый векторный конденсат SME, а релятивистски инвариантный аксиально симметричный фермион-антифермионный конденсат, возникающий в процессе перестройки вакуума при спонтанном нарушении исходной калибровочной симметрии и играющий роль, аналогичную роли конденсата Хиггса в Стандартной Модели.

В итоге можно сказать, что именно сочетание принципа относительности Эйнштейна и геометрических идей Буземана, согласно которым в качестве естественной локально анизотропной метрики рассматривается метрика плоского финслерова пространства, привело к жизнеспособному финслерову обобщению релятивистской теории [Г.Ю.Богословский, (1973)-(2008)]. Недавно основные результаты, полученные в рамках такого обобщения и связанные с частичным нарушением 3D изотропии, были воспроизведены с помощью методов непрерывных деформаций алгебр Ли и

По-украински

Фінслерова геометрія є геометрією метричних просторів, що мають внутрішню локальну анізотропію, тобто -- просторів, метрика яких не зводиться до квадратичної форми диференціалів координат. На існування таких просторів звернув увагу ще Риман в його знаменитій лекції "Про гіпотези, що лежать в основі геометрії". Проте, тільки через 50 років, в дисертації Финслера були зроблені перші кроки по їх систематичному вивченню.

Згодом, завдяки дослідженням Синга, Вагнера, Бервальда, Картану, Буземана, Рунда, Матсумото і інших, финслерова геометрія набула статусу самостійної гілки диференціальної геометрії. З сучасної точки зору класична финслерова геометрія є геометрія векторних розшарувань над різноманіттями.

До недавнього часу спроби використати формалізм финслеровой диференціальної геометрії в теоретичній фізиці носили лише епізодичний характер, але останніми роками ситуація в цьому відношенні помітно змінилася.

Окрім таких традиційних областей як теорія анізотропних середовищ і лагранжева механіка, класична финслерова геометрія і її узагальнення знайшли широке застосування при рішенні проблем оптимізації, при описі хаотичних систем, в статистичній фізиці і термодинаміці, в екології і в теорії еволюції біологічних систем, в описі внутрішньої симетрії адронів, в теорії простору-часу і гравітації, а також - в єдиних калібрувальних теоріях поля.

Відмітимо, що історично склалися два альтернативні підходи до финслеровой геометрії -- підходи Картану і Буземана. При цьому у більшості прикладних досліджень ( особливо тих, які торкалися структури простору-часу ) використовувався картановский підхід.

Хоча у рамках картановского підходу зберігається лема Річчі, що відкриває можливість для використання апарату финслеровой диференціальної геометрії в теоріях типу Калуцы-Клейна, сам цей підхід відрізняється великою різноманітністю можливих структур і проблемою ідентифікації нових ( в порівнянні з римановой геометрією ) елементів структури, що виникає внаслідок цього, з фізичними спостережуваними.

Існування такої проблеми видно вже з того, що в простому випадку финслеров метричний тензор залежить не лише від точок основного різноманіття, але і від значення локальних швидкостей. Відповідно, фізичні поля в картановском финслеровом просторі, окрім просторово-часових координат, виявляються, взагалі кажучи, залежними від цих швидкостей. Ця обставина сильно ускладнює фізичну інтерпретацію картановских финслеровых метрик.

Тому заздалегідь не ясно, чи являється використання подібних метрик чисто формальним прийомом, або ж реальний простір-час дійсно має финслеровой геометрію.

Уперше фізичні аспекти вказаної проблеми притягнули до себе увагу, коли прийшло усвідомлення того, що у рамках моделі локально ізотропного (риманова) простору-часу неможливо реалізувати принцип Маха для пробного тіла. Згідно з цим принципом, здатність тіла чинити опір прискоренню, тобто його інертність, повинна залежати від розподілу і руху зовнішньої (по відношенню до тіла) матерії. Іншими словами, інертна маса тіла, що входить, наприклад, в другий закон Ньютона, має бути не скаляром, а тензором [G.Cocconi and E.

Salpeter, Nuovo Cimento, 10(1958) 646]. Таким чином, відкриття анізотропії інертності стало б прямою вказівкою на локальну анізотропію простору. Экспкрименты, поставлені з цією метою [V.Beltran - Lopez, H.G.Robinson and V.W.Hughes, Bull. Am. Phys. Soc., 6(1961) 424; R.W.P.Drever, Phil. Mag., 6(1961) 683], привели до верхньої межі шуканої анізотропії на рівні 10^{- 23}. Таке сильне обмеження істотно понизило інтерес до проблеми локальної анізотропії і аж до теперішнього часу розглядається багатьма дослідниками як факт, що свідчить на користь локальної ізотропії 3D просторів.

В той же час, вже давно було відмічено [S.T.Epstein, Nuovo Cimento, 16(1960) 587; G.Yu.Bogoslovsky, Nuovo Cimento B77(1983) 181], що загальноприйнята експериментальна оцінка анизотропи на рівні 10^{- 23} є некоректною, а в якості надійної верхньої межі анізотропії слід розглядати значення 10^{- 10}, отримане шляхом виміру поперечного ефекту Доплера за допомогою ефекту Мессбауэра [D.C.Champeney, G.R.Isaak and A.M.Khan, Phys. Lett., 7(1963) 241; G.R.Isaak, Phys. Bull., 21(1970) 255].

Останніми роками інтерес до проблеми локальної анізотропії простору-часу став помітно рости. З одного боку цьому сприяло створення струнно-мотивованої феноменологічної теорії, відомої як Розширена Стандартна Модель сильних, слабких і електромагнітних взаємодій, або SME [D.Colladay, A.Kostelecky, Phys. Rev.

D58(1998) 116002], а з іншою -- що вимагають єдиного пояснення дані астрофізичних спостережень і, зокрема, анізотропія реліктового випромінювання, прискорене розширення Всесвіту, аномальна поведінка кривих обертання спіральних галактик.

У рамках SME локальна анізотропія простору виникає за рахунок реліктового векторного конденсату, що заповнює простір і взаємодіє з фундаментальними полями лоренц-ковариантным чином. В результаті, наявність такого конденсату веде до порушення активної лоренцевой інваріантності. При цьому локальна лоренцева симетрія (і, відповідно, ізотропія) придбавають сенс не строгої, а лише наближеної просторово-часової симетрії.

В той же час, принцип відносності Ейнштейна вимагає, щоб простір подій мав би строгу релятивістську симетрію. Порушення лоренцевой симетрії при збереженні релятивістської симетрії означає, що група релятивістської симетрії повинна відрізнятися від групи Лоренца і включати так звані узагальнені лоренцевы перетворення.

Як виявилося, такі перетворення дійсно існують, а відповідний плоский простір подій, чию групу ізометрій вони представляють, узагальнює простір Мінковського спеціальній теорії відносності і є финслеровым простором з частково порушеною 3D ізотропією.

Відмітимо ще, що фізичним джерелом локальної анізотропії простору тепер уже служить не реліктовий векторний конденсат SME, а релятивістський інваріантний аксіальний симетричний фермион-антифермионный конденсат, що виникає в процесі перебудови вакууму при спонтанному порушенні початкової калібрувальної симетрії і що грає роль, аналогічну ролі конденсату Хіггса в Стандартній Моделі.

У результаті можна сказати, що саме поєднання принципу відносності Ейнштейна і геометричних ідей Буземана, згідно з якими в якості природної локально анізотропної метрики розглядається метрика плоского финслерова простору, привело до життєздатного финслерову узагальнення релятивістської теорії [Г. Ю.Богословский, (1973) -(2008)]. Нещодавно основні результати, отримані у рамках такого узагальнення і пов'язані з частковим порушенням 3D ізотропій, були відтворені за допомогою методів безперервних деформацій алгебри Ли і