Онлайн переводчик http://translate.meta.ua
поменять
По-английски

The Table of Contents

Introduction ………………………………………………………………………………...4

1. Types of triangles

1.1 By relative lengths of sides……………………………………………………………..5

1.2 By internal angles……………………………………………………………………....5

2. Basic facts

2.1 Main properties of triangles…………………………………………………….............6

2.2 A few basic theorems about similar triangles…………………………………………..7

2.3 Theorems about congruence of triangles…………….………………………………....7

3. Remarkable lines and points of triangle………………………………………………....7

Conclusions………………………………………………………………………................9

Bibliography………………………………………………………………………………10

Introduction

Topic: “Triangles”.

The aim of work: to acquaint with the determinations of triangles and their kinds.

The tasks of the work are:

- To expound theoretical material of theme "Triangles".

- To give classification to the types of triangles.

- To expound basic theorems about equality of triangles.

- To describe the main lines of triangle.

- To acquaint with three theorems about similarity of triangles.

The paper is arranged into Introduction, Main Part, Conclusions, and Bibliography.

1.Types of triangles

1.1 By relative lengths of sides

Triangles can be classified according to the relative lengths of their sides:

In an equilateral triangle all sides have the same length. An equilateral triangle is also a regular polygon with all angles measuring 60°.

In an isosceles triangle, two sides are equal in length. An isosceles triangle also has two angles of the same measure; namely, the angles opposite to the two sides of the same length; this fact is the content of the Isosceles triangle theorem. Some mathematicians define an isosceles triangle to have exactly two equal sides, whereas others define an isosceles triangle as one with at least two equal sides. The latter definition would make all equilateral triangles isosceles triangles.

In a scalene triangle, all sides are unequal. The three angles are also all different in measure. Notice that a scalene triangle can be (but need not be) a right triangle. [2, p. 125]

Equilateral Isosceles Scalene

1.2 By internal angles

Triangles can also be classified according to their internal angles, measured here in degrees.

A right triangle (or right-angled triangle, formerly called a rectangled triangle) has one of its interior angles measuring 90° (a right angle). The side opposite to the right angle is the hypotenuse; it is the longest side of the right triangle. The other two sides are called the legs or catheti [3, p.729] (singular: cathetus) of the triangle. Right triangles obey the Pythagorean theorem: the sum of the squares of the lengths of the two legs is equal to the square of the length of the hypotenuse: a2 b2 = c2, where a and b are the lengths of the legs and c is the length of the hypotenuse. Special right triangles are right triangles with additional properties that make calculations involving them easier.

A triangle that has all interior angles measuring less than 90° is an acute triangle or acute-angled triangle.

A triangle that has one angle that measures more than 90° is an obtuse triangle or obtuse-angled triangle.

A triangle that has two angles with the same measure also has two sides with the same length, and therefore it is an isosceles triangle. It follows that in a triangle where all angles have the same measure, all three sides have the same length, and therefore such triangle is equilateral. [2, p. 129]

2.Basic facts

2.1 Main properties of triangles

In any triangle:

1. An angle, lying opposite the greatest side, is also the greatest angle, and inversely.

2. Angles, lying opposite the equal sides, are also equal, and inversely. In particular, all angles in an equilateral triangle are also equal.

3. A sum of triangle angles is equal to 180 deg.

From the two last properties it follows, that each angle in an equilateral triangle

is equal to 60 deg.

4. Continuing one of the triangle sides (AC ), we receive an exterior angle BCD.

An exterior angle of a triangle is equal to a sum of interior angles, not supplementary

with it: BCD = A B.

5. Any side of a triangle is less than a sum of two other sides and more than their

difference ( a < b c, a > b – c; b < a c, b > a – c; c < a b, c > a – b ).

6. The sum of the measures of the three exterior angles (one for each vertex) of any triangle is 360 degrees. [1, p. 26-29]

Two triangles are said to be similar if every angle of one triangle has the same measure as the corresponding angle in the other triangle. The corresponding sides of similar triangles have lengths that are in the same proportion, and this property is also sufficient to establish similarity.

2.2 A few basic theorems about similar triangles.

- If two corresponding internal angles of two triangles have the same measure, the triangles are similar.

- If two corresponding sides of two triangles are in proportion, and their included angles have the same measure, then the triangles are similar. (The included angle for any two sides of a polygon is the internal angle between those two sides.)

- If three corresponding sides of two triangles are in proportion, then the triangles are similar. [1, p. 158-161 ]

2.3 Theorems about congruence of triangles.

Two triangles are congruent, if they have accordingly equal:

a) two sides and an angle between them;

b) two angles and a side, adjacent to them;

c) three sides. [1, p. 32-34 ]

3. Remarkable lines and points of triangle.

Altitude ( height ) of a triangle is a perpendicular, dropped from any vertex to an opposite side ( or to its continuation). This side is called a base of triangle in this case. Three heights of triangle always intersect in one point, called an orthocenter of a triangle. An orthocenter of an acute-angled triangle (point O, Fig.1) is placed inside of the triangle; and an orthocenter of an obtuse-angled triangle (point O, Fig.2) – outside of the triangle; an orthocenter of a right-angled triangle coincides with a vertex of the right angle.[5]

Median is a segment, joining any vertex of triangle and a midpoint of the opposite side. Three medians of triangle ( AD, BE, CF, Fig.3) intersect in one point O (always lied inside of a triangle), which is a center of gravity of this triangle. This point divides each median by ratio 2:1, considering from a vertex.[5]

Bisector is a segment of the angle bisector, from a vertex to a point of intersection with an opposite side. Three bisectors of a triangle (AD, BE, CF, Fig.4 ) intersect in the one point (always lied inside of triangle), which is a center of an inscribed circle (see the section “Inscribed and circumscribed polygons”).

A bisector divides an opposite side into two parts, proportional to the adjacent sides; for instance, on Fig. AE : CE = AB : BC.[5]

Midperpendicular is a perpendicular, drawn from a middle point of a segment (side).Three

По-украински

Зміст

Введення .................................4

1. Види трикутників

1.1 Відносними довжинами сторін.........................5

1.2 Внутрішніми кутами..............................5

2. Істотні факти

2.1 Головне майно трикутників.................................6

2.2 Декілька основних теорем про подібні трикутники..................7

2.3 Теореми про відповідність трикутників......................7

3. Чудові лінії і пункти трикутника......................7

Висновки...........................................9

Бібліографія..............................10

Вступ

Тема: "Трикутники".

Мета роботи :, щоб познайомити з визначеннями трикутників і їх видами.

Завдання роботи є:

- , щоб викласти теоретичний матеріал "Трикутників" теми.

- , щоб надати класифікацію видам трикутників.

- , щоб викласти основні теореми про рівність трикутників.

- , щоб описати головні лінії трикутника.

- , щоб познайомити з трьома теоремами про схожість трикутників.

Папір влаштовується у Введенні, Головній Частині, Висновках, і Бібліографії.

1.Types з трикутників

1.1 Відносними довжинами сторін

Трикутники можуть бути класифіковані згідно з відносними довжинами їх сторін :

У рівносторонньому трикутнику усі сторони мають ту ж довжину. Рівносторонній трикутник - також регулярний багатокутник з усіма кутами, що вимірюють 60°.

У рівнобедреному трикутнику, дві сторони рівні в довжині. Рівнобедрений трикутник також має два кути того ж заходу; а саме, кути навпроти до двох сторін тієї ж довжини; цей факт - вміст Рівнобедреної теореми трикутника. Деякі математики визначають рівнобедрений трикутник, щоб мати точно дві рівні сторони, тоді як інші визначають рівнобедрений трикутник, як один щонайменше з двома рівними сторонами. Недавнє визначення зробило б усі рівнобедрені трикутники рівносторонніх трикутників.

У косокутному трикутнику, усі сторони нерівні. Три кути - також увесь інший в заході. Зверніть увагу, що косокутний трикутник може бути (але не треба бути) правильним трикутником. [2, p. 125]

Рівносторонній Рівнобедрений Scalene

1.2 Внутрішніми кутами

Трикутники можуть також бути класифіковані згідно з їх внутрішніми кутами, мав розміри тут в градусах.

Правильний трикутник (чи прямокутний трикутник, колись назвав rectangled трикутник) має один з його внутрішніх кутів, що вимірюють 90° (правильний кут). Сторона управо навпроти кута - гіпотенуза; вона - щонайдовша сторона правильного трикутника. Інший дві сторони називаються ногами або catheti [3, p.729] (єдиний: катет) з трикутника. Правильні трикутники покоряються Піфагорійську теорему: сума квадратів довжин двох ніг однакова до квадрата довжини гіпотенузи : a2 b2 = c2, де і b - довжини ніг і c - довжина гіпотенузи. Спеціальні правильні трикутники - правильні трикутники з додатковим майном, яке робить підрахунки, що включають їх легше.

Трикутник, який має усі внутрішні кути, що вимірюють менш ніж 90°, - гострий трикутник або гострокутний трикутник.

Трикутник, який має один кут, який вимірює більш ніж 90°, - тупий трикутник або тупий-спотворив трикутник.

Трикутник, який має два кути з тим же заходом також, має дві сторони з тією ж довжиною, і тому це - рівнобедрений трикутник. Він слідує, що в трикутнику, де усі кути мають той же захід, усе три сторони мають ту ж довжину, і тому такий трикутник рівносторонній. [2, p. 129]

2.Basic факти

2.1 Головне майно трикутників

У будь-якому трикутнику:

1. Кут, розташовуючи навпроти найбільшої сторони, - також найбільший кут, і назад.

2. Кути, розташовуючи навпроти рівних сторін, також рівні, і назад. Зокрема, усі кути в рівносторонньому трикутнику також рівні.

3. Сума кутів трикутника однакова до 180 градуса

Від двох останнього майна це слідує, що кожен кут в рівносторонньому трикутнику

дорівнює 60 градусу

4. Продовжуючи одну із сторін (AC ) трикутника, ми отримуємо зовнішній кутовий BCD.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не додатковий

з цим: BCD = B.

5. Будь-яка сторона трикутника є менш ніж сума два інші сторони і більш ніж вони

різниця (.

6. Сума заходів трьох зовнішніх кутів (один для кожної вершини) будь-якого трикутника складає 360 градусів. [1, p. 26-29]

2.2 Декілька основних теорем про подібні трикутники.

- Якщо два, передавальний внутрішні кути двох трикутників, мають той же захід, трикутники подібні.

- Якщо дві відповідні сторони двох трикутників є пропорційно, і їх кути, що включаються, мають той же захід, потім трикутники подібні. (Кут, що включається, для чого-небудь дві сторони багатокутника - внутрішній кут між тими дві сторони.)

- Якщо три відповідні сторони двох трикутників є пропорційно, то трикутники подібні. [1, p. 158-161 ]

2.3 Теореми про відповідність трикутників.

Два трикутники відповідні, якщо вони мають відповідно рівним:

a) дві сторони і кут між ними;

b) два кути і сторона, adjacent до них;

c) три сторони. [1, p. 32-34 ]

3. Чудові лінії і пункти трикутника.

Висота ( висота ) трикутника - перпендикуляр, пропущений від будь-якої вершини до протилежної сторони ( чи до його продовження). Раніше називається основою трикутника в цьому випадку. Три висоти трикутника завжди перетинаються в одному пункті, під назвою orthocenter трикутника. Orthocenter гострокутного трикутника (вкажіть O, Fig.1) - розміщена внутрішня частина трикутника; і orthocenter тупокутного трикутника (вкажіть O, Fig.2) - за межами трикутника; orthocenter прямокутного трикутника співпадає з вершиною правильного кута.[5]

Медіана - сегмент, приєднуючись до будь-якої вершини трикутника і середини протилежної сторони. Три медіани трикутника ( AD, БУДЬТЕ, ПОРІВНЯВ, Fig.3) перетинаються в одному пункті O (завжди внутрішня частина пісні трикутника), який є центром тяжіння цього трикутника. Цей пункт ділить кожну медіану на співвідношення 2:1, вважаючи від вершини.[5]

Bisector - сегмент кутового bisector, від вершини до пункту перетину з протилежною стороною. Три bisectors трикутника (AD, БУДЬТЕ, ПОРІВНЯВ, Fig.4 ) перетинаються в тому пункті (завжди внутрішня частина пісні трикутника), який є центром іменного круга (подивіться секцію "Іменними і обмеженими багатокутниками").

Bisector ділить два на частини протилежної сторони, пропорційний до сусідніх сторін; наприклад, на ВИКОНАННІ додатка Мал. : РАДА = Європи, AB: BC.[5]

Midperpendicular - перпендикуляр, відтягнутий від середнього пункту сегменту (сторона).Три